La soglia oltre cui un problema diventa impraticabile

In matematica e informatica, ogni problema ben definito ha un limite: oltre una certa dimensione o complessità, anche la soluzione più elegante diventa irrealizzabile con le risorse disponibili. Questo concetto, radicato nell’analisi reale con il limite di Weierstrass, ci insegna che la convergenza di una successione non dipende solo dalla vicinanza ai valori limite, ma anche dalla velocità con cui si raggiunge.

In termini computazionali, questa soglia si traduce in una transizione da calcolabile a impraticabile: un problema che richiede meno di O(1) operazioni è veloce, ma quando cresce oltre O(n²) o O(2ⁿ), i tempi di esecuzione esplodono, rendendo necessarie ottimizzazioni o approssimazioni. In Italia, dove risorse e sostenibilità energetica sono prioritarie, questa distinzione è cruciale, soprattutto nell’elaborazione di dati territoriali o modelli predittivi.

• Esempio pratico: nella previsione meteo, calcolare la probabilità che piova in due regioni italiane diverse nello stesso giorno coinvolge l’analisi di eventi mutuamente esclusivi. Grazie all’assioma di additività della probabilità, se si considerano due eventi disgiunti — pioggia in Lombardia e pioggia in Sicilia — la probabilità totale non è la somma diretta, ma richiede la somma delle probabilità individuali, corretta per eventuali sovrapposizioni.
• Calcolo geometrico in contesti reali: prendendo come esempio la mappatura agrituristica, dove si gestiscono grandi insiemi di punti geografici, il problema del convex hull — trovare l’inviluppo convesso — è centrale. L’algoritmo di Graham, con complessità O(n log n), rappresenta il gold standard per questa operazione, permettendo di ridurre drasticamente il carico computazionale su dispositivi locali con risorse limitate.